【悪用厳禁！】有限要素法(FEM)の最大応力は自由自在に変えられる!?

今回は、FEM（有限要素法）で応力特異場の応力を評価するときの要素分割の影響を考えましょう。応力特異点では応力が∞になるので要素分割の影響が非常に大きく、悪用すれば最大応力を自由に変えることもできてしまいます。正しい評価方法をマスターしましょう。

この記事はYoutube動画で紹介した内容の概要です。詳細は動画をご覧ください。

1. 要素分割を変えると最大応力が変わる？

同じ片持ち梁の問題でも、根本付近の要素分割を細かくすると、FEMで求まる最大応力が大きくなります。最大変位はほぼ変わらないのに、最大応力だけが大きく変化してしいます。これはなぜでしょうか？

2. 応力特異場とは

片持ち梁の根本（壁との接続部端部）は「応力特異場」になります。応力特異場とは局所的に応力が増加する場所のことで、接続端部の点（応力特異点）では理論的に応力が∞になります。梁に生じる応力分布は、マクロな曲げ応力と、この応力特異場で生じる局所的な応力を足し合わせた形になります。

3. FEMでは要素分割が細かいほど特異点の応力が大きくなる

一般的なFEMでは応力を有限な値として計算するため、応力特異点でも有限な値になります。そして、要素分割を細かくするほど特異点近傍の計算応力は大きくなります。これは、分割が細かくなることで理論上の応力分布（∞に向かって立ち上がる曲線）をより精細に近似するためです。特異場での応力は、理論的には∞ですがFEMで求まるのは有限な値なので、計算誤差が∞になります。FEMで求まる応力特異場の最大応力の値自体に物理的な意味はないことが分かりますね。

4. 応力特異場を評価する3つの方法

応力特異場の計算結果をどう扱うかは、解析の目的によって異なります。FEMで応力特異場を評価する方法は、大きく3種類に分けられます。

①は、応力分布を両対数グラフで表したときの傾きや高さから特異性の強さを評価する方法で、応力特異場を非常に詳細に分割する必要があります。②は、特定の評価位置（例：特異点から1要素離れた位置）での応力を相対的に比較する方法です。③は、実際の形状には角部にRがあるのにRを省略したモデルを用いたことで特異場が生じた場合など、特異場を詳細に評価すべきでないケースで用います。各方法の詳細はYoutube動画をご覧ください。

まとめ

• 応力特異点では理論的に応力が∞。FEMでは有限な値になるため計算誤差は∞となり、FEMで求まる応力特異場の最大応力自体に物理的な意味はない。
• FEMで応力特異場を扱うとき、解析の目的に合わせて①厳密評価・②相対評価（評価位置を固定して比較）・③評価しないの3方法から選び、それに適した要素分割を用いる。
• 応力特異場は細かく分割する必要があるが、構造全体を同じ寸法で分割する必要はない。特異場以外は粗い分割でよく、必要な箇所だけ細かく分割して計算コストを節約する。
• FEMで応力特異場を評価するとき、要素分割の影響で結果解釈を間違えないよう要注意。要素寸法を変えれば応力特異点の応力を自在に変えられるが、悪用は厳禁。

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