たわみ曲線【材料力学用語辞典】

材料力学用語辞典では、材料力学で出てくる専門用語を分かりやすく紹介しています。今回の用語は「たわみ曲線」です。

この記事はYoutube動画で紹介した内容の概要です。詳細は動画をご覧ください。

たわみ曲線とは

梁に曲げ方向の負荷が作用すると、梁は変形して曲がります。この変形した梁の形状を表す曲線を「たわみ曲線」と言います。片持ち梁や両端支持梁など、梁の支持条件や荷重の位置によってたわみ曲線の形は異なります。

たわみ曲線に関連する量として「たわみ」と「たわみ角」があります。たわみとは変形前と変形後の位置の差（変位）であり、記号 y で表します。たわみ角とは変形した梁の傾きであり、dy/dx で表します。

たわみの微分方程式

梁に生じるたわみ y は、位置 x に関する微分方程式 d²y/dx² = −M/EI で表されます。M は位置 x における曲げモーメント（荷重や支持条件から決まる）、E は縦弾性係数（材料で決まる定数）、I は断面二次モーメント（断面形状で決まる定数）です。E と I の積 EI は「曲げ剛性」と呼ばれ、大きいほど梁は変形しにくくなります。

たわみ曲線を求めるには、まず曲げモーメント M を x の関数として表し、微分方程式を積分します。そのとき生じる積分定数は、境界条件（例えば固定端ではたわみ y = 0、たわみ角 dy/dx = 0）を用いて決定します。この様に x の関数としてたわみ y を求めると、任意の位置でのたわみ量や傾きを計算できます。たわみ曲線は、橋・機械・ロボットアームなどの変形設計や、たわみから荷重を推定するセンシング技術など、幅広い分野で活用されています。

まとめ

• 梁が曲げられるとき、たわみ y は微分方程式 d²y/dx² = −M/EI で表される。M は曲げモーメント、E は材料で決まる縦弾性係数、I は断面形状で決まる断面二次モーメント。

• たわみ曲線は以下の4手順で求められる。①曲げモーメント M を x の関数として求める　②たわみ y・たわみ角 dy/dx の境界条件を求める　③たわみの微分方程式に①を代入して積分する　④境界条件を用いて y と dy/dx を求める
• たわみ曲線は、橋やロボットなどの設計や運用、重量のセンシングなど、様々な分野で活用される。

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