2026.05.03

FEMの要素分割と計算精度：1次要素と2次要素で引張変形を計算したときの計算精度をフリーソフトで確認しよう！

zairiki

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前回は曲げ変形に対する要素分割の影響を調べ、1次要素では粗い分割で大きな誤差が生じることを確認しました。今回は同じ梁モデルを使って 引張変形 を計算し、曲げ変形との違いを比較します。

この記事はYoutube動画で紹介した内容の概要です。詳細は動画をご覧ください。

Contents

1. 今回のテーマ：垂直変形（引張）を評価する
2. 今回扱う例題
3. 2次要素による計算例
4. 1次要素の計算結果
5. 1次要素と2次要素の比較
6. 曲げ変形との比較：問題によって使い分けが重要
まとめ

1. 今回のテーマ：垂直変形（引張）を評価する

前回は1次要素が苦手とする「曲げ変形」を評価しました。今回は1次要素も2次要素も扱いに適しているとされる「垂直変形（引張変形）」を評価します。

要素の特性比較表：今回は垂直変形（引張）を評価、前回は曲げ変形を評価 — 要素の特性比較表。前回は1次要素が×の「曲げ変形」を評価した。今回は1次要素も2次要素も○の「垂直変形（引張）」を評価する。

前回（曲げ変形）：1次要素は粗い分割で大きな誤差。2次要素は少ない要素数でも高精度。
今回（引張変形）：1次要素・2次要素ともに扱いに適しているとされる。実際に確認する。

2. 今回扱う例題

片方の端部を固定し、反対側の端部に 軸方向の引張荷重 を与えた梁を対象にします。前回の曲げ問題と同じ形状・材料ですが、荷重の方向が軸方向（引張）になっています。

引張梁の例題：形状・材料・荷重・理論解の一覧表 — 例題の条件。長さ 100 mm・断面 10×10 mm、縦弾性係数 200 GPa・ポアソン比 0.3、引張荷重 1000 N。梁の理論解（最大伸び）は FL/EBH = 0.005 mm。

この問題を、前回と同じ5段階の要素数で、1次要素と2次要素それぞれ計算し、理論解 0.005 mm（= 5 μm）と比較します。

3. 2次要素による計算例

四面体の2次要素（節点数 9,954・要素数 5,606）で計算した結果、梁は引張方向に均一に変形し、最大変位は 0.005 mm と理論解に一致しました。

2次要素による引張梁の計算例：カラーコンターで0.005mmの変形を確認 — 2次要素（四面体）による計算例。変位コンターが梁の長さ方向に均一に変化しており、最大変位 0.005 mm（理論値と一致）が確認できた。

4. 1次要素の計算結果

1次要素で5段階の要素分割を計算した結果を示します。

1次要素の引張計算結果グラフ：どの要素数でも理論値と高精度で一致 — 1次要素の計算結果（横軸：要素数、縦軸：最大変位 μm）。最も粗い条件（要素数 33）から最も細かい条件まで、いずれも理論値にほぼ一致している。

曲げ変形では粗い分割で大きな誤差が生じた1次要素ですが、引張変形では 最も粗い条件（要素数 33）でも 0.005 mm と理論値と高い精度で一致しました。

5. 1次要素と2次要素の比較

引張計算における1次要素と2次要素の比較グラフ：両者とも理論値に一致 — 1次要素（青）と2次要素（赤）の比較（引張変形）。どちらも全条件で理論値（緑線）にほぼ一致しており、要素の種類による差はほとんどない。

2次要素でも同様に、全ての要素数で理論値に高精度で一致しました。引張変形では 1次要素・2次要素のどちらを使っても精度の良い結果 が得られます。これは、引張変形が応力勾配がない変形であり、1次要素でも問題なく扱えるためです。

6. 曲げ変形との比較：問題によって使い分けが重要

曲げ変形（左）と引張変形（右）の計算結果比較グラフ：1次要素の挙動が大きく異なる — 曲げ変形（左）と引張変形（右）の比較。曲げ変形では1次要素（青）が粗い分割で理論値を大きく下回るが、引張変形では1次・2次ともに全条件で理論値に一致している。

前回の曲げ変形と今回の引張変形の2つのグラフを並べると違いが一目瞭然です。1次要素の精度は 扱う変形の種類 によって大きく異なります。曲げ変形が生じる問題では2次要素を選ぶべきであり、引張・圧縮だけの問題であれば1次要素でも十分な精度が得られます。迷ったときは 2次要素を使用してください。