分布荷重が作用する片持ち梁のたわみ曲線【材料力学用語辞典】

材料力学用語辞典では、材料力学で出てくる専門用語を分かりやすく紹介しています。今回は「たわみ曲線」の計算例として、分布荷重が作用する片持ち梁のたわみ曲線を求めます。

この記事はYoutube動画で紹介した内容の概要です。詳細は動画をご覧ください。

分布荷重が作用する片持ち梁のたわみ曲線

片持ち梁の全スパンに一様分布荷重 w（単位長さ当たり）が作用する場合を考えます。自由端を x = 0、固定端を x = L とすると、任意断面 x における曲げモーメントは M(x) = −wx²/2 となります。これをたわみの微分方程式 d²y/dx² = −M/EI に代入すると d²y/dx² = wx²/(2EI) が得られます。この式を 2 回積分し、固定端の境界条件（x = L で y = 0 かつ dy/dx = 0）から積分定数を決定します。

この様に求めたたわみ角とたわみは以下の通りです。

たわみ角：dy/dx = w/(6EI) × x³ − wL³/(6EI)

たわみ：y = w/(24EI) × x⁴ − wL³/(6EI) × x + wL⁴/(8EI)

たわみが最大となるのは自由端（x = 0）であり、最大たわみは y_max = wL⁴/(8EI) です。分布荷重 w や梁の長さ L が大きいほど、また曲げ剛性 EI が小さいほどたわみが大きくなり、Lの4乗に比例します。橋の桁や工場のクレーンなど、分布荷重を受ける構造物の変形設計でこの結果が活用されます。

まとめ

• 梁が曲げられるとき、たわみ y は微分方程式 d²y/dx² = −M/EI で表される。M は曲げモーメント、E は材料で決まる縦弾性係数、I は断面形状で決まる断面二次モーメント。

• たわみ曲線は以下の4手順で求められる。①曲げモーメント M を x の関数として求める　②たわみ y・たわみ角 dy/dx の境界条件を求める　③たわみの微分方程式に①を代入して積分する　④境界条件を用いて y と dy/dx を求める
• たわみ曲線は、橋やロボットの設計や運用など、様々な分野で活用される。

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