2026.05.03

有限要素法の1次要素、2次要素とは？同じ様に要素分割しても計算精度や計算時間が大きく変わることをフリーソフトで確認しよう！

zairiki

自宅で無料で使える有限要素法(FEM)

有限要素法（FEM）の計算結果は、どの種類の要素を使うか・どれだけ細かく分割するかによって大きく変わります。今回は、片持ち梁のたわみを例に、1次要素と2次要素で要素分割を変えた計算をして、結果への影響を確認しました。

この記事はYoutube動画で紹介した内容の概要です。詳細は動画をご覧ください。

Contents

1. 1次要素と2次要素の違い（復習）

FEMで形状を分割するときに使う要素には、1次要素と2次要素があります。

1次要素：要素の角にのみ節点がある。形状・変形を1次式、応力・ひずみを0次（要素内で一定）で表す。直線形状や垂直・せん断変形には向くが、曲げ変形には不向き。計算コストが小さい。
2次要素：辺の中間にも節点がある。形状・変形を2次式、応力・ひずみを1次（要素内で直線近似）で表す。曲線形状や曲げ変形も精度よく扱える。ただし計算コストが大きい。

1次要素が不向きとされる曲げ変形を例題として取り上げます。片方の端部を固定し、先端に集中荷重を与えた片持ち梁のたわみを計算します。計算には、FEMのフリーソフトCalculixとPrePoMaxを用います。

この問題を、要素の粗さを5段階に変えながら、1次要素と2次要素のそれぞれで計算し、理論解 0.02 mm と比較します。

1次要素で要素分割の粗さを変えながら計算した結果を示します。

要素数が最も少ない条件では、変位の計算結果が理論解の わずか 17% とかけ離れた値になり、非常に計算精度が悪くなりました。1次要素は曲げ変形をせん断変形で近似するため、要素が粗いと誤差が非常に大きくなります。

2次要素では、最も粗い条件（要素数 33）でも最大変形量は 0.0194 mm（理論値の 97%）と高精度です。要素数を増やすと少ない要素数でも早く理論値に収束します。

1次要素で細かく分割した条件と2次要素で荒く分割した条件を比較するため、横軸を節点数で整理しました。節点数が同程度でも2次要素の方が精度が高く、曲げ変形への適性が確認できます。

精度が悪い1次要素の結果であっても、変形量の分布コンターを見ると「それらしい」分布になっており、見た目だけでは精度が悪いことに気づきにくいです。有限要素法の計算結果を使うときは、理論解や近似解と比較して妥当性を検証することが不可欠です。

曲げ変形の計算では、1次要素を用いると変形量が実際より小さく（剛性が過大に）計算される。要素分割が粗いほど誤差が大きく、今回の最粗条件の変位は理論値の17%とかけ離れた値になった。
2次要素は少ない要素数でも高精度な結果が得られ、曲げ変形を含む問題に適している。ただし節点数が多くなるため計算コストは大きい。
精度の悪い計算結果であっても、分布図のカラーコンターの見た目はそれらしく見える。有限要素法を使うときは、理論解・近似解などと比較して計算結果を検証することが重要。

このチャンネルでは、材料力学を学んだり生活に役立てるための様々なコンテンツを用意しています。Youtubeではさらに詳しく解説していますので、ぜひあわせてご覧ください。

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