たわみの微分方程式【材料力学用語辞典】

材料力学用語辞典では、材料力学で出てくる専門用語を分かりやすく紹介しています。今回の用語は「たわみの微分方程式」です。

この記事はYoutube動画で紹介した内容の概要です。詳細は動画をご覧ください。

たわみの微分方程式とは

たわみの微分方程式は、梁の任意断面における曲げモーメントMと、その位置のたわみyの関係を表す式です。はりの負荷条件で決まる曲げモーメントM、材料で決まる縦弾性係数E、断面形状で決ま断面二次モーメントIzの3つのパラメータを用いて、たわみyの2階微分の式で表されます。この方程式を解くことで、梁の各位置でのたわみ量を求めることができます。

たわみの微分方程式の導出

たわみの微分方程式は、2つの独立した関係式を組み合わせることで導出されます。たわみyと曲率半径Rの幾何学的な関係から、yの2階微分とRの関係が導かれます。また、モーメントのつり合いから、曲げモーメントMとRの関係が導かれます。これらの2式から曲率半径を消去すると、たわみの微分方程式が導かれます。

まとめ

• たわみの微分方程式は、曲げモーメントをM、縦弾性係数をE、断面二次モーメントをIzを用いて、2階微分の式で表される。
• 梁がたわむ時、幾何学的な関係から曲率半径Rとたわみの二階微分の関係式が得られ、モーメントのつり合いから曲率半径Rと曲げモーメントの関係式が得られる。これら2式を組み合わせることで導かれる。

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