有限要素法の積分点とは？節点とは別の点で、この点が無いと応力やひずみを計算できません！

有限要素法（FEM）の解析結果を見ると、節点での変位・応力・ひずみなどが出力されます。しかし実は、変位と応力やひずみは異なる点で計算されています。変位が求まる「節点」とは別に「積分点」という点が要素内に存在し、応力やひずみはこの積分点で算出されます。

この記事はYoutube動画で紹介した内容の概要です。演習問題を含む詳細は動画をご覧ください。

1. 積分点とは

FEMでは要素剛性マトリクスを計算するために積分が必要ですが、複雑な形状を解析的に積分することは困難です。そこでガウス・ルジャンドル積分という数値積分法が用いられます。この積分で使う評価点が「積分点」です。節点と積分点の役割は以下の様に異なります。

• 節点：要素の角や辺などに配置される点。有限要素法の計算によって変位が求まる。
• 積分点：要素剛性マトリクスの積分計算に使う評価点。要素内部に配置され、応力やひずみが求まる。節点の応力・ひずみは周囲の積分点の値から内挿や外挿して求められる。

2. 完全積分と低減積分

ガウス・ルジャンドル積分の積分点数によって、要素は完全積分要素と低減積分要素に分類されます。どちらの積分方法を使っても計算は可能ですが、それぞれ注意点があります。

• 完全積分（1次四角形要素）＋曲げ変形：曲げ変形をせん断変形で近似してしまう「せん断ロッキング」が生じ、曲げ剛性を過大評価する。
• 低減積分：積分点が少ないため計算コストは小さいが、「アワグラス現象」と呼ばれる実際には生じない変形モードが現れることがある。

まとめ

• 要素剛性マトリクスの計算にはガウス・ルジャンドル積分が用いられ、積分に使う評価点が積分点。積分点は要素内部に配置される。
• 変位は節点で求まり、応力やひずみは積分点で求まる。節点の応力・ひずみは周囲の積分点の値から内挿・外挿して求める。
• 積分点数により完全積分要素と低減積分要素に分類される。1次完全積分要素で曲げ変形を扱うとせん断ロッキングが、低減積分要素ではアワグラス現象が生じることがある。

より詳細な説明や演習問題をYouTube動画で解説しています。ぜひご覧ください。

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