2025.12.26 2026.05.03

応力集中部の応力を有限要素法(FEM)で評価するときの要素分割の影響を調べよう！

zairiki

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FEM（有限要素法）で応力計算をするとき、穴・切り欠き・R部などの応力集中部では、要素分割が計算結果にどのように影響するでしょうか？この記事では、穴のある板を例題に、粗密な要素分割を比較して応力への影響を説明します。また、以前の動画で扱った応力特異場との違いもまとめます。

この記事はYoutube動画で紹介した内容の概要です。詳細は動画をご覧ください。

Contents

1. 応力集中とは
2. 今回の例題
3. 5段階の要素分割で比較する
4. 細かい分割では最大応力が収束する
5. 粗すぎると形状も応力もデタラメになる
6. 応力特異場と応力集中部の違い
まとめ

1. 応力集中とは

板に穴があると、穴の近傍で局所的に応力が大きくなる「応力集中」が生じます。穴から遠い位置での応力（公称応力）を σn とすると、穴表面に生じる最大応力 σmax は σmax = α × σn と表されます。α は応力集中係数と呼ばれ、形状によって決まる無次元数です。十分大きい板に円形の穴がある場合、α = 3 となります。応力集中は穴だけでなく、切り欠きや角部に設けたR部など、曲線で構成される箇所に多く発生します。

応力集中とは（復習）。穴のある板を上下に引張ると穴の表面でσmaxが生じる図。右側に最大応力σmax＝α×σnの式、αは応力集中係数（十分大きい板に円形の穴があるとき3）と記載。 — 応力集中の概念。穴のある板を引張ると穴表面に最大応力 σmax = α σn が生じる。円形穴では応力集中係数 α = 3。

2. 今回の例題

1辺 200 mm・厚さ 20 mm の板の中央に直径 10 mm の穴があり、この板を上下方向に 10 MPa で引張ります。形状と荷重がx・y・z方向すべてに対称なので、板全体の 1/8 だけをモデル化し、各対称面に対称境界条件（それぞれの方向変位を拘束）を設定します。これにより、計算精度を落とさずに計算コストを大幅に削減できます。

今回の例題。200×200×20 mm の板の中央に直径 10 mm の穴があり、10 MPa で引張る。対称性を使い板全体の 1/8 モデルで計算する。

3. 5段階の要素分割で比較する

穴周辺の要素分割を5段階（①細かい〜⑤粗い）変えて計算し、結果を比較します。①②では穴の表面が滑らかに表現されますが、③まで粗くなると表面に少し凸凹が生じます。④⑤まで粗くなると穴の形が円ではなくなります。要素分割が粗すぎると、解析したい形状そのものを正確に表現できなくなります。

穴周辺の要素分割比較（①〜④）。細かい分割①では穴が滑らかな円形、粗い④では円形が崩れる。

4. 細かい分割では最大応力が収束する

要素分割①②③の結果を比較すると、最大応力はそれぞれ 31.9 MPa・32.4 MPa・32.4 MPa と、ほぼ同じ値に収束しています。応力分布の形も③まではほぼ同じです。応力集中部は最大応力の理論値が有限な値であるため、要素分割を細かくするにつれて計算値が真の値に収束します。これは、細かくしても収束しない応力特異場とは大きく異なる点です。

穴周辺の応力分布（細かい分割①②③の比較）。3条件の穴周辺応力コンター図を横並びで示す。①が31.9MPa、②が32.4MPa、③が32.4MPaで、いずれも近い値に収束している。 — 要素分割①②③の最大応力は 31.9〜32.4 MPa と収束している。応力集中部では細かく分割すれば最大応力は真の値に近づく。

5. 粗すぎると形状も応力もデタラメになる

5条件すべての結果を比較すると、粗い要素分割④⑤では最大応力がそれぞれ 34.0 MPa・23.2 MPa となり、①②③とは異なります。応力分布の形も④⑤では大きく異なります。これは穴の形状を正確に表現できていないためであり、要素分割が粗すぎると解析の意味が失われます。

穴周辺の応力分布（全5条件の比較）。①31.9MPa、②32.4MPa、③32.4MPa、④34.0MPa、⑤23.2MPaの応力コンター図を横並びで示す。④⑤では分布が①②③と明らかに異なる。 — 全5条件の比較。①②③は収束しているが、④⑤では最大応力・分布ともに正確に求まらない。形状を表現できない粗い分割は意味がない。

6. 応力特異場と応力集中部の違い

応力特異場と応力集中部では、要素分割の影響が異なります。形状の面では、応力特異場は鋭角・直線が多いので粗い分割でも形状を表現しやすいですが、応力集中部は曲線が多いので粗い分割では形状精度が落ちます。応力の面では、応力特異場では特異点の理論値が∞のため細かく分割しても最大応力は収束しませんが、応力集中部は最大値が有限なので細かく分割すれば収束します。

応力特異場と応力集中部の要素分割の比較表。形状（特徴・要素分割の注意点）と応力分布（特徴・要素分割の注意点）の2項目について比較。応力特異場：鋭角・直線が多く粗くても形状表現しやすい／応力勾配大・特異点∞／細かくしても最大応力収束しない。応力集中部：曲線が多く粗いと形状表現し難い／応力勾配大だが最大値は有限／細かく分割すれば最大応力収束。 — 応力特異場と応力集中部の比較。形状・応力分布ともに特性が異なり、それぞれに適した要素分割の対応が必要。

まとめ

板の穴・切り欠き・角部のR部などの近傍で応力が急激に大きくなる現象を「応力集中」という。最大応力は σmax = α σn（αは応力集中係数）で表される。円形穴では α = 3。
応力集中部は曲線で構成されることが多く、要素分割が粗いと形状を正確に表現できない。穴や切り欠きの形状が崩れた状態では計算の意味が失われる。
応力集中部の最大応力は有限な値であるため、要素分割を細かくすれば最大応力は収束する。細かくしても収束しない応力特異場とは根本的に異なる。
解析対象が応力特異場か応力集中部かを見極めて、それぞれに適した要素分割と評価方法を選ぶことが重要。

このチャンネルでは、材料力学を学んだり生活に役立てるための様々なコンテンツを用意しています。Youtubeではさらに詳しく解説していますので、ぜひあわせてご覧ください。

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