2024.11.19 2026.04.30

断面二次モーメントとは？梁の曲げ易さや曲げ難さを表そう！

zairiki

ここから始める！材料力学の教室【初級編】

これから材料力学を勉強したい人や復習したい人向け
このシリーズで材料力学の基礎を理解しよう！

「材料力学の教室【初級編】」の第10回です。前回のたわみの微分方程式 d²y/dx² ＝ M/(EI) に出てきたI（断面二次モーメント）の説明です。一般式の意味や長方形断面の公式 I ＝ bh³/12を説明します。実際に計算する演習問題も扱います。

この記事はYoutube動画で紹介した内容の概要です。詳細は動画をご覧ください。

Contents

1. 断面二次モーメントの役割
2. 断面二次モーメントの求め方（一般式）
3. 長方形断面の公式：I ＝ bh³/12
4. 演習問題1：30 cmものさしを「薄い向き」に曲げる
- 断面二次モーメント I（薄い向き）
- たわみ u
5. 演習問題2：同じものさしを「厚い向き」に曲げる
- 断面二次モーメント I（厚い向き）
- たわみ u
6. 結果の比較：向きを変えるだけで225倍の差
まとめ

1. 断面二次モーメントの役割

梁の曲げ変形によるたわみ y は、たわみの微分方程式によって決まります。

d²y ／ dx² ＝ M ／ ( E I )

M：曲げモーメント＝梁にかかる負荷で決まる
E：縦弾性係数＝材料で決まる
I：断面二次モーメント＝ 断面形状で決まる

たわみの微分方程式におけるI — d²y/dx² ＝ M/(EI) の I が断面二次モーメント。断面形状の効果を表す

つまり、断面二次モーメントは「梁の曲げにくさ」のうち断面形状で決まる部分を表す量です。値が大きいほど、その断面は曲がりにくくなります。

同じ板でも向きで曲がりやすさが違う — 同じ板でも、立てて使うか寝かせて使うかで断面二次モーメントが変わり、曲がりやすさがガラッと変わる

2. 断面二次モーメントの求め方（一般式）

梁の長さ方向を x、高さ方向を y、奥行き方向を z とし、断面の図心（図形の中心、均一材料なら重心）を原点にとります。z軸まわりに曲げる場合、断面二次モーメント Iz は次の式で求まります。

Iz ＝ ∫ y² dA　（断面全体で積分）

断面二次モーメントの一般式 Iz=∫y²dA — 断面二次モーメント Iz ＝ ∫ y² dA（図心まわりに、各微小領域 dA に対して y² を掛けて積分）

なぜ y² なのか？　モーメント＝力×距離。曲げ応力は図心からの距離 y に線形に増えるので、力（応力×面積）も y に比例して増えます。これに距離 y を掛けるので、結果としてy²を断面全体で積分する形になります。

3. 長方形断面の公式：I ＝ bh³/12

幅 b、高さ h の長方形断面について、図心を原点にとって積分してみます。微小領域は高さ dy、幅 b なので dA ＝ b dy、y の範囲は −h/2 ～ h/2 です。

Iz ＝ ∫_−h/2^h/2 y² × b dy ＝ b × [ y³/3 ]_−h/2^h/2 ＝ b h³ ／ 12

長方形断面の断面二次モーメント bh³/12 — 長方形断面の断面二次モーメント I ＝ b h³ ／ 12（高さ h の3乗に比例）

ポイントは、I は高さ h の3乗に比例することです。同じ面積の長方形でも、高さが大きい方向に曲げるほうが圧倒的に曲がりにくくなります。

4. 演習問題1：30 cmものさしを「薄い向き」に曲げる

条件：30 cmものさし（鉄、E＝200 GPa、断面 30 mm × 2 mm）の片方を壁に固定し、先端に F＝10 N の荷重を与える。長さ L＝300 mm。薄い面（厚さ2 mm）に荷重を作用させる向きでの先端たわみを求めましょう。

断面二次モーメント I（薄い向き）

曲げる方向に対して、幅 b ＝ 30 mm、高さ h ＝ 2 mm（曲げ方向が薄いので h が小さい）。

I ＝ b h³ ／ 12 ＝ 30 × 2³ ／ 12 ＝ 20 mm⁴

たわみ u

前回求めた片持ち梁先端のたわみ公式 u ＝ FL³ ／ (3EI) に代入します。

u ＝ ( 10 × 300³ ) ／ ( 3 × 200,000 × 20 ) ＝ 2.7×10⁸ ／ 1.2×10⁷ ≒ 22.5 mm

演習問題1の答えたわみ22.5mm — 演習問題1の答え：薄い向き（h＝2 mm）に曲げると、たわみは22.5 mmと大きい

5. 演習問題2：同じものさしを「厚い向き」に曲げる

条件：問題1と同じ30 cmものさしの曲げ方向を90°変更して、厚い向きに曲げる（厚さ30 mmの方向に荷重を作用）。他の条件は同じ。先端たわみを求めましょう。

断面二次モーメント I（厚い向き）

曲げる方向に対して、幅 b ＝ 2 mm、高さ h ＝ 30 mm（曲げ方向が厚いので h が大きい）。

I ＝ b h³ ／ 12 ＝ 2 × 30³ ／ 12 ＝ 4,500 mm⁴

たわみ u

u ＝ ( 10 × 300³ ) ／ ( 3 × 200,000 × 4,500 ) ≒ 0.1 mm

演習問題2の答えたわみ0.1mm — 演習問題2の答え：厚い向き（h＝30 mm）に曲げると、たわみは0.1 mmとほぼ動かない

6. 結果の比較：向きを変えるだけで225倍の差

同じものさし、同じ材料、同じ長さ、同じ荷重なのに、向きが違うだけで結果はこれだけ変わります。

	問題1（薄い向き）	問題2（厚い向き）
高さ h	2 mm	30 mm
断面二次モーメント I	20 mm⁴	4,500 mm⁴（225倍）
先端たわみ u	22.5 mm	0.1 mm（1/225）

演習問題1と2の比較 225倍の差 — 同じものさしでも、向きを変えると I は225倍、たわみは1/225になる＝ I は h の3乗に効くため

高さ h の比は 30/2＝15、その3乗で 15³＝3,375 ……ではなく、I は h³/12 に b も掛かるので、b の比 (2/30) も入れて 3,375 × (2/30) ＝ 225。形は同じでも、「曲げ方向の高さ h」が3乗で効くのがポイントです。
身近な例だと、I型鋼や本棚の棚板を立てて使う設計などは、この性質を最大限活用したものです。