2024.11.19 2026.04.28

せん断応力やせん断ひずみとは？色々な向きの応力やひずみを使いこなそう！

zairiki

ここから始める！材料力学の教室【初級編】

「材料力学の教室【初級編】」の第7回です。これまで扱ってきた応力・ひずみは、実は「垂直」応力・ひずみと呼ばれるもので、これとは別にせん断応力・せん断ひずみがあります。今回はこの2つと、せん断方向のフックの法則および横弾性係数を説明します。実際に計算する演習問題も扱います。

この記事はYoutube動画で紹介した内容の概要です。詳細は動画をご覧ください。

Contents

1. 垂直応力とせん断応力

応力には垂直応力とせん断応力の2種類があります。違いは仮想断面に対して内力がどの向きに働くかです。

どちらも「内力／断面積」で求まる点は共通です。

3次元の問題で考える応力は、xyz座標系では次の6種類です。

ひずみにも、応力と同じく垂直ひずみとせん断ひずみがあります。どちらも変位／元の長さで求める点は共通で、変形の形が違うだけです。

ひずみも応力と同じく、3次元では6種類（垂直ひずみ ε_x, ε_y, ε_z とせん断ひずみ γ_xy, γ_yz, γ_zx）があります。

垂直方向では、弾性変形の範囲でσ ＝ Eε（フックの法則）が成り立ちました。せん断方向でも、同じ形の式が成り立ちます。

τ ＝ G × γ

この比例係数Gを横弾性係数（剛性率、せん断弾性係数）と言います。垂直方向の縦弾性係数 E と並ぶ、もう一つの代表的な弾性定数です。

等方性材料（どの方向も性質が同じ材料）の場合、横弾性係数 G は縦弾性係数 E とポアソン比 ν を使って次のように表せます。

G ＝ E ／ { 2 (1 ＋ ν) }

下面を固定された角棒（長さ30 mm、断面1辺10 mmの正方形）を対象とします。材料をE＝20 GPa、G＝7.7 GPa、ν＝0.3とします。

問題：上面に z方向の引張荷重 100 N が作用するとき、垂直応力（σ_x, σ_y, σ_z）と垂直ひずみ（ε_x, ε_y, ε_z）はそれぞれいくつでしょうか？

解答（応力）：z方向の応力は「荷重／断面積」で、

σ_z＝ 100 N ／ (10 × 10 mm²) ＝ 1 MPa、　σ_x ＝ σ_y＝ 0

解答（ひずみ）：z方向のひずみはフックの法則 ε＝σ／E より、

ε_z ＝ 1 MPa ／ 20,000 MPa ＝ 5×10⁻⁵

x, y方向には荷重がありませんが、ポアソン比分のひずみが生じます。

ε_x ＝ ε_y ＝ −νε_z ＝ −0.3 × 5×10⁻⁵ ＝ −1.5×10⁻⁵

※ 動画の答えでは符号を省略して 1.5×10⁻⁵ と表記していますが、引張で直交方向は縮むので符号は負が正しい解釈です。

問題：同じ角棒の上面にx方向のせん断荷重 100 N が作用するとき（曲げ変形は考えず、ひし形にせん断変形のみ）、せん断応力（τ_xy, τ_yz, τ_zx）とせん断ひずみ（γ_xy, γ_yz, γ_zx）はそれぞれいくつでしょうか？

解答（応力）：zx面方向のせん断応力は、

τ_zx ＝ 100 N ／ (10 × 10 mm²) ＝ 1 MPa、　τ_xy ＝ τ_yz ＝ 0

解答（ひずみ）：せん断方向のフックの法則 γ＝τ／G より、

γ_zx ＝ 1 MPa ／ 7,700 MPa ≒ 1.3×10⁻⁴、　γ_xy ＝ γ_yz ＝ 0

垂直ひずみにはポアソン比の影響があり、荷重方向に直交する方向にもひずみが生じます。一方、せん断ひずみにはポアソン比の影響がなく、応力が生じている面でだけひずみが生じます。これが垂直方向とせん断方向の大きな違いです。

応力には垂直応力 σとせん断応力 τ がある。3次元では合わせて6種類（σ_x, σ_y, σ_z, τ_xy, τ_yz, τ_zx）。
ひずみにも垂直ひずみ εとせん断ひずみ γ がある。3次元では合わせて6種類（ε_x, ε_y, ε_z, γ_xy, γ_yz, γ_zx）。
せん断方向のフックの法則はτ ＝ Gγ。比例係数Gを横弾性係数と言う。
等方性材料ではG ＝ E ／ {2(1＋ν)}。E とポアソン比が決まれば G 計算できる。
垂直ひずみにはポアソン比の影響あり、せん断ひずみにはポアソン比の影響なし。