2024.11.23 2026.05.06

断面二次極モーメント【材料力学用語辞典】

zairiki

材料力学用語辞典

材料力学を勉強している人、材料力学を使っている人向け
材料力学に出てくる専門用語を理解しよう！

材料力学用語辞典では、材料力学で出てくる専門用語を分かりやすく紹介しています。今回の用語は「断面二次極モーメント」です。

この記事はYoutube動画で紹介した内容の概要です。詳細は動画をご覧ください。

断面二次極モーメントとは

「断面二次極モーメント」と題したスライド。左側に壁に固定された丸棒にねじりモーメントTが作用する図と断面二次極モーメントIp=∫r²dAの式、右側にxy座標系上の任意断面形状に微小面積dAと原点からの距離rが示されており、断面二次極モーメントの定義を表している。 — Ipは断面の回転中心から微小面積dAまでの距離rの2乗を断面全体で積分した値。

断面二次極モーメントIpは、断面の回転中心からの距離rの2乗を断面全体で積分した値（Ip = ∫r²dA）です。断面形状で決まる値で、大きいほどねじり難いことを表します。ねじり変形の最大せん断応力τmax = T·(D/2)/Ipやねじり角θAll = TL/(GIp)の計算に使われます。

断面二次モーメントが曲げ方向の座標の2乗を積分して曲げ難さを表すのに対し、断面二次極モーメントは回転中心からの距離の2乗を積分してねじり難さを表す点が異なります。どちらも断面形状だけで決まる値です。

各断面形状の断面二次極モーメント

「断面二次極モーメントの例①」と題したスライド。左側に円形断面（直径D・半径r・微小幅drのリング状面積dA=2πrdr）の説明図、右側にIp=∫r²dA=∫₀^{D/2}2πr³dr=πD⁴/32の積分計算過程が示されており、円形断面の断面二次極モーメントの導出を表している。 — 円形断面（直径D）の断面二次極モーメントはIp = πD⁴/32。直径の4乗に比例。

円形断面（直径D）では、微小面積をリング状に取ってdA = 2πrdrとして積分すると、Ip = πD⁴/32となります。直径の4乗に比例するため、太い棒ほど断面二次極モーメントが大きく、ねじり難くなります。中空断面（外径D・内径d）の場合はIp = π(D⁴ − d⁴)/32です。

断面二次極モーメントは、x軸に関する断面二次モーメントとy軸に関する断面二次モーメントの和としても求められます（Ip = Ix + Iy）。この関係を利用すると、幅b・高さhの長方形断面の場合はIp = b³h/12 + bh³/12と求まります。

まとめ

断面二次極モーメントは、断面形状で決まる値で、大きいほどねじり難いことを表す。
断面二次極モーメントは、任意の断面形状に対してIp = ∫r²dAで求まる。円形断面（直径D）はIp = πD⁴/32、中空断面（外径D・内径d）はIp = π(D⁴−d⁴)/32。
断面二次極モーメントは、x軸とy軸に関する断面二次モーメントの和（Ip = Ix + Iy）で求まる。幅b・高さhの長方形断面はIp = b³h/12 + bh³/12。

YouTube動画でより詳細に説明しています。ぜひご覧ください。

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