曲げモーメントが作用する片持ち梁のたわみ曲線【材料力学用語辞典】

材料力学用語辞典では、材料力学で出てくる専門用語を分かりやすく紹介しています。今回は「たわみ曲線」の計算例として、曲げモーメントが作用する片持ち梁のたわみ曲線を求めます。

この記事はYoutube動画で紹介した内容の概要です。詳細は動画をご覧ください。

曲げモーメントが作用する片持ち梁のたわみ曲線

片持ち梁の自由端にモーメント M₀ が作用する場合を考えます。梁の長さを L、自由端を x = 0 、固定端を x = Lとすると、任意の断面 x における曲げモーメントは M(x) = −M₀（一定） となります。これをたわみの微分方程式 d²y/dx² = −M/EI に代入すると、d²y/dx² = M₀/EI が得られます。この微分方程式を 2 回積分し、固定端での境界条件（x = L のとき y = 0 かつ dy/dx = 0）を用いることで積分定数を決定します。

この様に求まるたわみ角とたわみは以下の通りです。

たわみ角：dy/dx = M₀x/EI − M₀L/EI

たわみ：y = M₀x²/2EI − M₀Lx/EI + M₀L²/2EI

たわみが最大となるのは自由端（x = 0）であり、最大たわみは y_max = M₀L²/2EI です。M₀ や L が大きいほど、また EI（曲げ剛性）が小さいほどたわみが大きくなります。

まとめ

• 梁が曲げられるとき、たわみ y は微分方程式 d²y/dx² = −M/EI で表される。M は曲げモーメント、E は材料で決まる縦弾性係数、I は断面形状で決まる断面二次モーメント。

• たわみ曲線は以下の4手順で求められる。①曲げモーメント M を x の関数として求める　②たわみ y・たわみ角 dy/dx の境界条件を求める　③たわみの微分方程式に①を代入して積分する　④境界条件を用いて y と dy/dx を求める
• たわみ曲線は、クレーンやロボットの設計や運用など、様々な分野で活用される。

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