有限要素法の積分点【材料力学用語辞典】

材料力学用語辞典では、材料力学で出てくる専門用語を分かりやすく紹介しています。今回の用語は「有限要素法の積分点」です。

この記事はYoutube動画で紹介した内容の概要です。詳細は動画をご覧ください。

積分点とは

有限要素法（FEM）の要素には、節点と積分点という2種類の点があります。節点は要素の頂点や辺の中点などに位置して、変位が求まる点です。一方、積分点は要素の内部に設けられた点で、応力やひずみが求まる点です。

FEMの計算では、要素剛性マトリクスを作成するために積分する必要があります。このとき、積分点での値と重みの積を足し合わせるガウス・ルジャンドル積分が用いられます。積分点はこのガウス積分の評価点であることから、この名前がつけられています。

完全積分要素と低減積分要素

積分点の数によって要素は完全積分要素と低減積分要素に分けられます。完全積分は精度が高い積分を実現できる積分点数を持つもので、低減積分はそれより少ない積分点数を使うものです。

完全積分では、曲げ変形をせん断変形で近似してしまう「せん断ロッキング」と呼ばれる現象が現れることがあります。一方、低減積分は計算コストは小さいですが、「アワグラス現象」と呼ばれる実際には生じない変形モードが現れることがあります。FEM解析では適切な要素を選定することが重要です。

まとめ

• 要素剛性マトリクスの作成には、積分点と重みの積を用いるガウス・ルジャンドル積分が用いられる。
• 任意形状の要素の積分点の位置は、基本形状の要素で積分点の位置を決めて座標変換すると求まる。
• 要素は積分点数によって完全積分と低減積分に分けられる。
• 変位は節点で求まり、応力やひずみは積分点で求まる。節点の応力やひずみは周囲の積分点の値から求める。

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